平面向量共线定理和基本定理

平面向量共线定理和基本定理是平面向量理论中的两个核心定理，它们是解决诸多平面向量问题的基础。深入理解这两个定理及其应用，对于掌握平面向量知识至关重要。

一、平面向量共线定理

向量$\boldsymbola$与$\boldsymbolb$共线的充要条件是存在唯一实数$\lambda$，使得$\boldsymbolb=\lambda\boldsymbola$，其中$\boldsymbola\ne\boldsymbol0$。

这个定理的精髓在于它建立了向量共线与实数比例关系的等价性。当$\boldsymbola$为零向量时，情况有所特殊：若$\boldsymbolb$也为零向量，则$\lambda$可以取任意实数；若$\boldsymbolb$不为零向量，则不存在满足条件的实数$\lambda$。因此，在应用该定理时，必须特别注意$\boldsymbola$不能为零向量这一前提条件。

此外，定理的另一种表述形式也十分常用且具有重要意义：对于任意两个向量$\boldsymbola$和$\boldsymbolb$，若存在不全为零的实数对$(\lambda,\mu)$，使得$\lambda\boldsymbola+\mu\boldsymbolb=\boldsymbol0$，则$\boldsymbola$与$\boldsymbolb$共线。这意味着两个向量共线等价于它们可以构成一个非平凡的线性相关关系。这个表述形式在证明两条直线平行、三点共线等问题中尤为有效，因为它直接抓住了向量线性相关的本质。

例如，要证明三点A,B,C共线，我们可以设$\vec{AB}=\boldsymbola$，$\vec{AC}=\boldsymbolb$。如果存在实数$\lambda$使得$\vec{AC}=\lambda\vec{AB}$，即$\boldsymbolb=\lambda\boldsymbola$，则A,B,C三点共线。反之，如果A,B,C三点共线，则$\vec{AB}$与$\vec{AC}$共线，则存在实数$\lambda$使得$\boldsymbolb=\lambda\boldsymbola$成立。这充分体现了向量共线定理在几何问题中的应用价值。

二、平面向量基本定理

如果$\boldsymbole_1$和$\boldsymbole_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内任意向量$\boldsymbola$，有且只有一对实数$\lambda_1$和$\lambda_2$，使得$\boldsymbola=\lambda_1\boldsymbole_1+\lambda_2\boldsymbole_2$。不共线的向量$\boldsymbole_1$和$\boldsymbole_2$被称为该平面内所有向量的一组基底。

这个定理揭示了平面向量空间的结构：任何平面向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。这意味着我们可以用两个不共线的向量“构建”整个平面向量空间。这类似于坐标系的概念，$\lambda_1$和$\lambda_2$可以看作是向量$\boldsymbola$在基底$\boldsymbole_1$和$\boldsymbole_2$下的坐标。

需要注意的是，零向量不能作为基底向量，因为零向量与任何向量都共线。此外，基底向量的选择并非唯一，同一个平面内可以找到无数对不共线的向量作为基底。然而，对于给定的基底，任意向量的表示是唯一的。这保证了向量的坐标表示的唯一性。

平面向量基本定理可以推广到三个向量的情形：平面内任意三个不共线向量（两两不共线），其中任何一个向量都可以表示为其余两个向量的线性组合，且这种表示形式是唯一的。这说明了平面内最多只有两个线性无关的向量。

例如，已知三个向量$\boldsymbola,\boldsymbolb,\boldsymbolc$，若它们不共线，则可以找到唯一的一组实数x,y,z，使得$x\boldsymbola+y\boldsymbolb+z\boldsymbolc=0$，且x,y,z不全为0。

三、例题分析与扩展

设$\boldsymbole_1$，$\boldsymbole_2$是两个不共线的向量，若向量$\boldsymbolm=-\boldsymbole_1+k\boldsymbole_2$($k∈\mathbf{R}$)与向量$\boldsymboln=\boldsymbole_2-2\boldsymbole_1$共线，求k的值。

根据向量共线定理，由于$\boldsymbolm$和$\boldsymboln$共线，存在实数$\lambda$使得$\boldsymbolm=\lambda\boldsymboln$。因此，$-\boldsymbole_1+k\boldsymbole_2=\lambda(\boldsymbole_2-2\boldsymbole_1)$。由于$\boldsymbole_1$和$\boldsymbole_2$不共线，根据平面向量基本定理，我们可以将等式两边的$\boldsymbole_1$和$\boldsymbole_2$的系数分别比较：$-1=-2\lambda$和$k=\lambda$。解得$\lambda=\frac{1}{2}$，从而$k=\frac{1}{2}$。

这个例子充分展示了如何运用向量共线定理和平面向量基本定理来解决实际问题。通过将向量表示为基底向量的线性组合，并利用向量共线的条件，我们可以建立关于未知数的方程组，从而求解未知参数。

总而言之，平面向量共线定理和基本定理是平面向量理论的基石，深刻理解这两个定理及其各种等价形式，并熟练掌握它们的应用技巧，对于解决各种平面向量问题至关重要。它们不仅是证明问题的有力工具，更能帮助我们深入理解平面向量空间的结构和性质。通过不断的练习和深入思考，才能真正掌握这些知识，并灵活运用到实际问题中。