完整的三角函数值表

三角函数值表是学习和应用三角函数的基础，它展示了不同角度对应的三角函数值。理解并熟记常用的三角函数值，可以帮助我们更有效地解决数学、物理以及工程领域中的问题。一个完整的三角函数值表不仅包含了0°到90°的特殊角，还应该包含所有角度的函数值，并体现出三角函数的周期性。

特殊角的三角函数值（0°-90°）

以下列出了0°到90°范围内，每隔5°的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）值。这些角度的三角函数值在学习和计算中经常用到，需要熟记。

|角度|sin|cos|tan|

|—-|——-|——-|——-|

|0°|0|1|0|

|5°|0.0872|0.9962|0.0875|

|10°|0.1736|0.9848|0.1763|

|15°|0.2588|0.9659|0.2679|

|20°|0.3420|0.9397|0.3640|

|25°|0.4226|0.9063|0.4663|

|30°|0.5|0.8660|0.5774|

|35°|0.5736|0.8192|0.7002|

|40°|0.6428|0.7660|0.8391|

|45°|0.7071|0.7071|1|

|50°|0.7660|0.6428|1.1918|

|55°|0.8192|0.5736|1.4281|

|60°|0.8660|0.5|1.7321|

|65°|0.9063|0.4226|2.1445|

|70°|0.9397|0.3420|2.7475|

|75°|0.9659|0.2588|3.7321|

|80°|0.9848|0.1736|5.6713|

|85°|0.9962|0.0872|11.4301|

|90°|1|0|∞|

任意角的三角函数值

对于任意角度，我们可以利用三角函数的周期性和诱导公式来计算其三角函数值。例如，sin(120°)=sin(180°-60°)=sin(60°)=√3/2。cos(225°)=cos(180°+45°)=-cos(45°)=-√2/2。tan(300°)=tan(360°-60°)=-tan(60°)=-√3。

常用的三角函数公式

除了三角函数值表，一些常用的三角函数公式也是解决问题的关键。

和角公式:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

差角公式:

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

倍角公式:

sin(2α)=2sinαcosα

cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)

半角公式:

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差公式:

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

理解和掌握这些公式，并结合三角函数值表，可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

需要注意的是，由于三角函数的周期性，对于大于360°或小于0°的角度，我们可以通过将其转换为0°到360°之间的等效角度来查找其三角函数值。

在实际应用中，我们可以借助计算器或计算机软件来计算任意角度的三角函数值。但熟记一些特殊角的三角函数值，以及理解三角函数的性质和公式，仍然是至关重要的。