分式的加减法和分式的乘除

分式的加减法和分式的乘除是代数运算中的重要组成部分，掌握其运算规则是进行更复杂代数运算的基础。本文将详细阐述分式的加减法和乘除法的规则，并结合例题进行深入讲解。

一、分式的加减法

分式的加减法与分数的加减法类似，其核心在于分母的处理。根据分母是否相同，分式的加减法可以分为同分母分式加减法和异分母分式加减法两种情况。

1.同分母分式相加减:

当两个或多个分式具有相同的分母时，它们的加减法运算非常简洁。只需将分子相加减，分母保持不变即可。其一般形式为：

$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pmb}{c}$(其中c≠0)

例如：$\frac{2x}{3y}+\frac{x}{3y}=\frac{2x+x}{3y}=\frac{3x}{3y}=\frac{x}{y}$(y≠0)

$\frac{5}{x^2}-\frac{2}{x^2}=\frac{5-2}{x^2}=\frac{3}{x^2}$(x≠0)

2.异分母分式相加减:

当分式具有不同的分母时，我们需要先进行通分，即将分式化为具有相同分母的分式，再进行加减运算。通分的关键在于找到分母的最小公倍数(LCM)。

找到最小公倍数后，将每个分式分子分母都乘以相同的数，使所有分式的分母都等于最小公倍数。然后，根据同分母分式的加减法规则进行计算。其一般形式为：

$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pmbc}{bd}$(其中b≠0,d≠0)

例如：计算$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}$

首先找到分母x和y的最小公倍数，即xy。然后将每个分式通分：

$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2y}{xy}+\frac{3x}{xy}=\frac{2y+3x}{xy}$(x≠0,y≠0)

再例如：计算$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$

最小公倍数为(x-1)(x+1)。通分后：

$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1-2x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{3-x}{(x-1)(x+1)}$(x≠±1)

二、分式的乘除法

分式的乘除法相对简单，其规则如下：

1.分式的乘法:

分式乘以分式，将分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。其一般形式为：

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$(其中b≠0,d≠0)

例如：$\frac{2x}{3y}\cdot\frac{6y^2}{x^2}=\frac{2x\cdot6y^2}{3y\cdotx^2}=\frac{12xy^2}{3x^2y}=\frac{4y}{x}$(x≠0,y≠0)

2.分式的除法:

分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数。将除式的分子分母颠倒位置，再与被除式相乘。其一般形式为：

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$(其中b≠0,c≠0,d≠0)

例如：$\frac{x^2}{y}\div\frac{x}{y^2}=\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{x}=\frac{x^2y^2}{xy}=xy$(x≠0,y≠0)

3.分式的乘方:

分式乘方，分子分母分别乘方。其一般形式为：

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(其中b≠0,n为正整数)

例如：$\left(\frac{2x}{3y}\right)^2=\frac{(2x)^2}{(3y)^2}=\frac{4x^2}{9y^2}$(y≠0)

三、例题分析

例题：当分式$-\frac{1}{xy}$与$-\frac{1}{x^2y}$经过计算后的结果是$-\frac{x+1}{x^2y}$时，则它们进行的运算是___A．分式的加法B．分式的减法C．分式的乘法D．分式的除法

解析：根据题意，$-\frac{1}{xy}+(-\frac{1}{x^2y})=-\frac{x}{x^2y}-\frac{1}{x^2y}=-\frac{x+1}{x^2y}$。因此，这两个分式进行了加法运算。答案为A。

通过以上讲解和例题，相信读者对分式的加减法和乘除法的运算规则有了更深入的理解。熟练掌握这些规则是解决更复杂代数问题的关键。需要注意的是，在进行分式运算时，务必注意分母不能为零，并进行必要的约分化简，使结果简洁明了。