负整数指数幂的定义和运算性质

负整数指数幂的定义和运算性质

在学习了正整数指数幂及其运算性质之后，我们自然会思考如何将指数的范围扩展到负整数。这需要我们对指数幂的定义进行合理的推广，使其在新的范围内仍然保持原有的运算性质的和谐与一致性。

首先，回顾正整数指数幂的运算性质：

1. 同底数幂的乘法: $a^m\cdota^n=a^{m+n}$(m,n为正整数)

2. 幂的乘方: $(a^m)^n=a^{mn}$(m,n为正整数)

3. 积的乘方: $(ab)^n=a^nb^n$(n为正整数)

4. 同底数幂的除法: $a^m÷a^n=a^{m-n}$(a≠0,m,n为正整数，m>n)

5. 商的乘方: $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(n为正整数，b≠0)

为了保持这些运算性质在负整数指数下的有效性，我们引入了负整数指数幂的定义：当n是正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$(a≠0)。这个定义巧妙地将负整数指数幂与正整数指数幂联系起来，使得负指数幂表示为正指数幂的倒数。这意味着$a^{-n}$(a≠0)是$a^n$的乘法逆元。

例如，$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$。这个定义的合理性在于它保证了同底数幂的乘法性质在负整数指数情况下依然成立。例如：

$a^m\cdota^{-n}=a^m\cdot\frac{1}{a^n}=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$(a≠0,m,n为正整数，假设m>n)

如果m <n，则$a^m\cdota^{-n}=\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}$，依然成立。

更进一步，如果m和n中有一个是负数，甚至两者都是负数，经过化简，都能验证同底数幂的乘法性质仍然成立。这说明我们的定义是合理的，并且保持了运算性质的一致性。

类似地，我们可以验证其他运算性质在负整数指数下也依然成立。例如，幂的乘方：$(a^{-m})^n=(\frac{1}{a^m})^n=\frac{1}{a^{mn}}=a^{-mn}$(a≠0,m,n为正整数)。

在引入零指数幂$a^0=1$(a≠0)后，指数的范围就扩展到了全体整数。这个定义同样是为了保持运算性质的一致性，例如：$a^m\cdota^0=a^{m+0}=a^m$。

理解负整数指数幂的关键在于将其视为正整数指数幂的倒数。这使得我们可以运用已知的正整数指数幂的运算性质来解决涉及负整数指数幂的计算问题。

让我们来看一些例子：

例1: 计算$(2\times10^{-6})\div(10^{-4})^3$

解：$(2\times10^{-6})\div(10^{-4})^3=2\times10^{-6}\div10^{-12}=2\times10^{-6}\times10^{12}=2\times10^{6}$

例2: 化简$\frac{x^{-2}y^3}{x^3y^{-1}}$(x≠0,y≠0)

解：$\frac{x^{-2}y^3}{x^3y^{-1}}=x^{-2-3}y^{3-(-1)}=x^{-5}y^4=\frac{y^4}{x^5}$

例3: 计算$(-2)^{-3}$

解：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$

通过这些例子，我们可以看到，负整数指数幂的引入不仅扩展了指数的范围，也使得指数运算更加完整和统一，方便我们处理更广泛的数学问题。理解负整数指数幂的定义和运算性质对于后续学习更高阶的数学知识至关重要，例如科学计数法、对数运算等。熟练掌握负整数指数幂的运算技巧，能够有效提高解题效率，并加深对指数运算的理解。

</n，则$a^m\cdota^{-n}=\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}$，依然成立。