平面向量的所有公式整理

平面向量的所有公式整理

平面向量是高中数学中重要的概念，理解和掌握其相关公式对于简化解题过程至关重要。本文将对平面向量的基本运算、性质及相关公式进行系统整理和扩展，力求全面、清晰地呈现其核心内容。

一、向量的基本概念

平面向量是具有大小和方向的量。其大小称为向量的模，方向指箭头所指的方向。零向量是大小为0的向量，其方向不确定。与标量（只有大小，没有方向的量，例如温度、质量）相对。平面向量通常用字母加箭头表示，如$\vec{a}$，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如$\overrightarrow{AB}$。向量的几何表示为有向线段，起点、方向和长度共同构成向量的三个要素。

二、向量的运算

1.向量的加法:

几何意义: 三角形法则或平行四边形法则。

坐标表示: 设$\vec{a}=(x,y)$，$\vec{b}=(x’,y’)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(x+x’,y+y’)$。

运算律: 满足交换律和结合律：

交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

2.向量的减法:

几何意义: $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$（共同起点，指向被减向量）。

坐标表示: 设$\vec{a}=(x,y)$，$\vec{b}=(x’,y’)$，则$\vec{a}-\vec{b}=(x-x’,y-y’)$。

相反向量: 向量$\vec{a}$的相反向量记作$-\vec{a}$，满足$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$。

3.数乘向量:

定义: 实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的乘积是一个向量，记作$\lambda\vec{a}$。

几何意义: $|\lambda\vec{a}|=|\lambda|\cdot|\vec{a}|$。当$\lambda>0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$同方向；当$\lambda<0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$反方向；当$\lambda=0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。

坐标表示: 设$\vec{a}=(x,y)$，则$\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)$。

三、向量的数量积（内积、点积）

1.定义:

两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的数量积是一个数量，记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$。若$\vec{a}$，$\vec{b}$不共线，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角，$0\le\theta\le\pi$；若$\vec{a}$，$\vec{b}$共线，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$。

2.坐标表示:

设$\vec{a}=(x,y)$，$\vec{b}=(x’,y’)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=xx’+yy’$。

3.性质:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$（交换律）

$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})$

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$（分配律）

$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$

四、向量的平行与垂直

1.平行（共线）:

向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$共线的充要条件是存在唯一实数$\lambda$，使得$\vec{b}=\lambda\vec{a}$，或$x_1y_2-x_2y_1=0$。

2.垂直:

向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$垂直的充要条件是$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，即$x_1x_2+y_1y_2=0$。

五、其他相关公式

向量模的计算: 设$\vec{a}=(x,y)$，则$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。

向量夹角的计算: $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

掌握以上公式及其几何意义，是熟练运用平面向量解决问题的关键。通过大量的练习，才能真正理解和灵活应用这些知识。此外，还需注意不同公式之间的联系与区别，以及在不同题型中的运用技巧。