三角函数公式大全

三角函数公式大全

三角函数是数学中一类重要的超越函数，广泛应用于各个领域，理解和掌握其公式至关重要。本大全涵盖了三角函数的各个方面，力求全面、系统、易懂。

一、基本定义与关系

三角函数的基本定义源于单位圆和直角三角形。设角α的终边与单位圆交于点(x,y)，则：

正弦函数: sinα=y

余弦函数: cosα=x

正切函数: tanα=y/x(x≠0)

余切函数: cotα=x/y(y≠0)

正割函数: secα=1/x(x≠0)

余割函数: cscα=1/y(y≠0)

在直角三角形中，设角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：

sinA=a/c

cosA=b/c

tanA=a/b

cotA=b/a

secA=c/b

cscA=c/a

同角三角函数的基本关系式:

平方关系:

sin²α+cos²α=1

1+tan²α=sec²α

1+cot²α=csc²α

倒数关系:

tanαcotα=1

sinαcscα=1

cosαsecα=1

积的关系:

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

二、两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

三、倍角公式

sin(2α)=2sinαcosα

cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)

四、三倍角公式

sin(3α)=3sinα-4sin³α

cos(3α)=4cos³α-3cosα

五、半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

六、降幂公式

sin²α=(1-cos2α)/2

cos²α=(1+cos2α)/2

tan²α=(1-cos2α)/(1+cos2α)

七、万能公式

令t=tan(α/2)，则：

sinα=2t/(1+t²)

cosα=(1-t²)/(1+t²)

tanα=2t/(1-t²)

八、积化和差公式

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

九、和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

十、辅助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+θ)，其中tanθ=B/A

十一、记忆技巧

熟练掌握以上公式需要大量的练习和总结。“奇变偶不变，符号看象限”是记忆诱导公式的重要方法。“一全正，二正弦，三正切，四余弦”可以帮助记忆各个象限的三角函数符号。此外，可以尝试将公式进行推导和变形，加深理解。

十二、三角函数的本质与应用

三角函数本质上描述的是角度与比值之间的关系，它在数学分析、微积分、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，例如描述周期性运动、解决几何问题、分析信号等等。对三角函数的深入理解是掌握高等数学和相关学科的基础。本大全旨在提供一个便捷的参考，但更重要的是理解公式背后的逻辑和应用场景。持续的练习和深入的思考是掌握三角函数的关键。